Giải phương trình hàm số mũ sau đây trên tập số thực $\mathbb{R}$: $3^x+5^x=2.4^x$

Ta có: $3^x+5^x=2\cdot 4^x\iff {\left(\frac{3}{4}\right)}^x+{\left(\frac{5}{4}\right)}^x=2$ (do $4^x>0$ với mọi $x$)

Xét hàm số $f(x)={\left(\frac{3}{4}\right)}^x+{\left(\frac{5}{4}\right)}^x$, do đây là một hàm số tổng của hai hàm mũ cơ số dương nên f(x) là một hàm lồi. Do f(x) giao với đường thẳng $y=2$, theo tính chất hàm lồi thì chỉ giao với đường thẳng ngang tối đa 2 nghiệm

+ Xét $x=1\iff \frac{3}{4}+\frac{5}{4}=2$ (đúng)

+ Xét $x=0\iff 1+1=2$ (đúng)

Cho nên phương trình có hai nghiệm là $x=0$ và $x=1$