Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho phương trình sau có hệ nghiệm duy nhất là hệ nghiệm $(x;y)$
$$\{\begin{array}{l}{\log }_2(x^2+y^2+2)\le 1+{\log }_2(xy+1)\\ x+y=m\end{array}$$

Ta có điều kiện là: $x^2+y^2+2>0$ (luôn đúng) và $xy+1>0$

Xét: ${\log }_2\left(x^2+y^2+2\right)\le 1+{\log }_2(xy+1)$
$\iff {\log }_2\left(x^2+y^2+2\right)\le {\log }_2(2)+{\log }_2(xy+1)$
$\iff {\log }_2\left(x^2+y^2+2\right)\le {\log }_2(2xy+1)$
$\iff (x-y{)}^2\le 0$

Do $(x-y{)}^2\ge 0$ với mọi $x,y$ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y$

Ta có: $\{\begin{array}{l}x=y\\ x+y=m\end{array}$

Suy ra $x=\frac{m}{2}$; $y=\frac{m}{2}$. Xét điều kiện $xy+1>0\iff \frac{m^2}{4}+1>0$ (đúng)

Vì vậy điều kiện của m là $m\in \mathbb{R}$