Ta có dãy số $(x_n)$ thoả mãn $x_{n+1}=\frac{x_n^2+4}{5}$ . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Giải phương trình đặc trưng: $L^2-5L+4=0\{\begin{array}{l}L=1\\ L=4\end{array}$

Vậy ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng $1<x_n<4$:

Mặt khác ta xét: $x_{n+1}-x_n=\frac{x_n^2-5x_n+4}{5}$

Xét biểu thức $P(x_n)=x_n^2-5x_n+4$. Xét tam thức bậc hai thì $P(x_n)<0$ với mọi $1<x_n<4$, nên suy ra $x_{n+1}<x_n$.

Ta kết luận rằng dãy số $(x_n)$ là dãy số giảm liên tục.

Theo định lí Weiterstrass thì $(x_n)$ là dãy số giảm và bị chặn bởi $1<x_n<4$ với n dần tiến về vô cùng, do đó dãy số sẽ tiến gần đến giới hạn hữu hạn là $L=1$, vậy ta dễ dàng suy ra $\underset{n\to +\infty }{\lim }(x_n)=1$