Giải phương trình sau: $5.C_{n+2}^2-A_{n+1}^1=319$

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $n\ge 1$ (để $C_{n+2}^2$ và $A_{n+1}^1$ xác định).

Ta có $C_{n+2}^2=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$ và $A_{n+1}^1=n+1$.

Phương trình trở thành:
$$5\cdot \frac{(n+2)(n+1)}{2}-(n+1)=319$$
$$\iff (n+1)\left(\frac{5(n+2)}{2}-1\right)=319\iff (n+1)(5n+8)=638.$$

Thử $n=10$: $(11)(58)=638$ thỏa mãn.

Xét phương trình $5n^2+13n-630=0$: $\Delta =13^2+4\cdot 5\cdot 630=12769=113^2$, nên $n=\frac{-13+113}{10}=10$ (nhận, $n\ge 1$) hoặc $n=\frac{-13-113}{10}=-12,6$ (loại).

Vậy $n=10$.