Từ các chữ số trong tập hợp $A=\{0,1,2,3,4,5,6\}$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, có mặt số 1, số 2 và chúng đứng cạnh nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Gộp hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau thành một khối. Khối này có 2 cách xếp thứ tự bên trong (12 hoặc 21) và có 4 vị trí có thể đặt trong dãy 5 chữ số. Ba chữ số còn lại được chọn và xếp từ 5 chữ số còn lại của tập $\{0,3,4,5,6\}$.

- Tổng số cách khi chưa loại trừ trường hợp chữ số 0 đứng đầu: $2\cdot 4\cdot A_5^3=2\cdot 4\cdot 60=480$.
- Loại các số có chữ số 0 đứng đầu: khi đó khối (1,2) không thể ở vị trí đầu (vì 0 chiếm chỗ đầu), nên khối ở một trong 3 vị trí còn lại; chữ số đầu là 0, chọn và xếp 2 chữ số từ 4 chữ số còn lại: $2\cdot 3\cdot A_4^2=2\cdot 3\cdot 12=72$.

Vậy số số tự nhiên thỏa mãn là $480-72=408$ số.

Kiểm tra lại bằng cách đếm trực tiếp: khối ở vị trí đầu: $2\cdot A_5^3=120$; khối ở 3 vị trí sau (chữ số đầu khác 0, khác 1, 2): $2\cdot 3\cdot 4\cdot A_4^2=288$. Tổng $120+288=408$, khớp kết quả.