Giải phương trình: $\sin x-\cos x=\cos 2x$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$. Ta có $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=-(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)=-t(\sin x+\cos x)$. Phương trình trở thành $t=-t(\sin x+\cos x)\iff t\left(1+\sin x+\cos x\right)=0$.

Trường hợp 1: $t=0\iff \sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $\sin x+\cos x=-1\iff \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Suy ra $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, hoặc $x+\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=\pi +k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Thử lại: $x=\pi$: $0-(-1)=1=\cos 2\pi =1$ ✓; $x=-\frac{\pi }{2}$: $-1-0=-1=\cos (-\pi )=-1$ ✓; $x=\frac{\pi }{4}$: $0=\cos \frac{\pi }{2}=0$ ✓.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $S=\left\{\pi +k2\pi ,-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.