Gọi $A,B$ là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x-1$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$. Phép đối xứng qua đường thẳng $y=x-1$ biến điểm $(x,y)$ thành $(y+1,x-1)$. Gọi $A=(t,f(t))$ với $f(t)=\frac{t^2}{t-1}$; ảnh của $A$ là $(f(t)+1,t-1)$ phải thuộc đồ thị, tức tồn tại $s$ với $s=f(t)+1$ và $f(s)=t-1$.

Thử trường hợp $s=-t$: cần $f(-t)=t-1$, tức $\frac{t^2}{-t-1}=t-1\Rightarrow -t^2=t^2-1\Rightarrow t^2=\frac{1}{2}$, $t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Với $t=\frac{1}{\sqrt{2}}$: $f(t)=\frac{1/2}{1/\sqrt{2}-1}=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên $A=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Với $t=-\frac{1}{\sqrt{2}}$: $f(t)=\frac{1/2}{-1/\sqrt{2}-1}=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên $B=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Kiểm tra: ảnh của $A$ qua trục là $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)=B$ ✓ (vì $\frac{1}{\sqrt{2}}-1=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$).

Trường hợp còn lại ($s=f(t)+1=t$, tức điểm nằm trên trục $y=x-1$) cho $t=\frac{1}{2}$, điểm tự đối xứng, không tạo cặp điểm phân biệt.

Vậy $AB=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(-\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4}=2$. Đáp án B.