Gọi $I$ là tâm của đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4$. Số các giá trị nguyên của $m$ để đường thẳng $x+y-m=0$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $IAB$ có diện tích lớn nhất là

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;1)$ và bán kính $R=2$. Diện tích tam giác $IAB$ là $S=\frac{1}{2}IA\cdot IB\cdot \sin \widehat{AIB}=\frac{1}{2}{R}^2\sin \widehat{AIB}=2\sin \widehat{AIB}\le 2$. Diện tích đạt giá trị lớn nhất bằng $2$ khi $\sin \widehat{AIB}=1⟺\widehat{AIB}=90^{\circ }$ (tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$). Khi đó khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $d$ là $d(I,d)=\frac{R}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Ta có: $\frac{|1+1-m|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}⟺|2-m|=2⟺[\begin{array}{l}2-m=2\\ 2-m=-2\end{array}⟺[\begin{array}{l}m=0\\ m=4\end{array}$. Cả hai giá trị $m=0$ và $m=4$ đều nguyên. Vậy có đúng 2 giá trị nguyên của $m$.