Gọi $S$ là tập các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{2mx+m^2+m-2}{x+m}$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[1;4]$ bằng $1$. Tính tổng các phần tử của $S$.

Chọn C.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-m\}$.
Để hàm số xác định trên $[1;4]$ thì $-m\notin [1;4]\iff m\notin [-4;-1]$.
Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2m(x+m)-(2mx+m^2+m-2)}{(x+m{)}^2}=\frac{m^2-m+2}{(x+m{)}^2}>0,\forall x\ne -m$ (do $m^2-m+2=(m-1/2{)}^2+7/4>0$).
Do đó hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
Vậy giá trị nhỏ nhất trên $[1;4]$ là $y(1)=\frac{2m+m^2+m-2}{1+m}=\frac{m^2+3m-2}{m+1}$.
Theo giả thiết ${\min }_{[1;4]}y=1\iff \frac{m^2+3m-2}{m+1}=1\iff m^2+3m-2=m+1\iff m^2+2m-3=0\iff [\begin{array}{l}m=1\\ m=-3\end{array}$.
Kết hợp điều kiện $m\notin [-4;-1]$:
- $m=1$ thỏa mãn.
- $m=-3\in [-4;-1]$ loại.
Vậy $S=\{1\}$, tổng các phần tử của $S$ bằng $1$.