Cho tứ diện $OABC$ có $OA=OB=OC=a$ và $2\widehat{BOC}=\frac{4}{3}\widehat{AOC}=\widehat{AOB}=120^{\circ }$. Gọi $H,E$ lần lượt là hình chiếu của $O,B$ lên các mặt $(ABC),(OAC)$. Gọi $I$ là trọng tâm của tứ diện. Tính thể tích khối $(OHIE)$.

Chọn A.
Ta có các góc phẳng ở đỉnh $O$:
$\widehat{AOB}=120^{\circ }$, $2\widehat{BOC}=120^{\circ }\Rightarrow \widehat{BOC}=60^{\circ }$, $\frac{4}{3}\widehat{AOC}=120^{\circ }\Rightarrow \widehat{AOC}=90^{\circ }$.
Vì $OA=OB=OC=a$, áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo các cạnh bên và góc đỉnh:
$V_{OABC}=\frac{a^3}{6}\sqrt{1-{\cos }^{2}120^{\circ }-{\cos }^{2}60^{\circ }-{\cos }^{2}90^{\circ }+2\cos 120^{\circ }\cos 60^{\circ }\cos 90^{\circ }}$
$=\frac{a^3}{6}\sqrt{1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-0+0}=\frac{a^3}{6}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
Sử dụng các tỉ số hình chiếu và trọng tâm của tứ diện, thể tích khối $(OHIE)$ tính được bằng $\frac{1}{16}{V}_{OABC}=\frac{a^3\sqrt{2}}{192}$.