Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị tham số $m$ để bất phương trình $m^2(x^4-1)+m(x^2-1)+6(x+1)\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. Số phần tử của tập $S$ là

Xét hàm số $f(x)=m^2(x^4-1)+m(x^2-1)+6(x+1)$.
Điều kiện bài toán yêu cầu $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Nhận thấy $f(-1)=m^2(0)+m(0)+6(0)=0$.
Vì $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(-1)=0$, nên $x=-1$ phải là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$.
Do $f(x)$ khả vi trên $\mathbb{R}$, điều kiện cần là $f^{\prime }(-1)=0$:
$f^{\prime }(x)=4m^2{x}^3+2mx+6$
$f^{\prime }(-1)=-4m^2-2m+6=0⟺2m^2+m-3=0⟺(m-1)(2m+3)=0⟺[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{3}{2}\end{array}$
Kiểm tra lại điều kiện đủ:
- Với $m=1$:
$f(x)=(x^4-1)+(x^2-1)+6(x+1)=x^4+x^2+6x+4=(x+1{)}^2(x^2-2x+4)=(x+1{)}^2[(x-1{)}^2+3]\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
(Thỏa mãn).
- Với $m=-\frac{3}{2}$:
$f(x)=\frac{9}{4}(x^4-1)-\frac{3}{2}(x^2-1)+6(x+1)=\frac{1}{4}(9x^4-6x^2+24x+21)$
$=\frac{1}{4}(x+1{)}^2(9x^2-18x+21)=\frac{3}{4}(x+1{)}^2[3(x-1{)}^2+4]\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
(Thỏa mãn).
Vậy có đúng 2 giá trị của $m$ là $m\in \left\{1;-\frac{3}{2}\right\}$, tức là tập $S$ có 2 phần tử. Chọn C.