Gọi $X$ là tập hợp gồm các số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập $X$. Xác suất để lấy được một số chẵn chứa các chữ số $2,3,4$ sao cho chữ số $2$ đứng trước chữ số $3$ và chữ số $3$ đứng trước chữ số $4$ là $\frac{a}{b}$ (trong đó $a,b$ là hai số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu?

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=9\cdot A_9^6=544320$.
Gọi số cần lập là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7}$ ($a_1\ne 0$). Vì số đó chẵn và chữ số $2$ đứng trước $3$, $3$ đứng trước $4$ nên $a_7\in \{0,4,6,8\}$.
- Trường hợp 1: $a_7=4$. Khi đó $2,3$ nằm trong $6$ vị trí đầu:
+ Nếu $a_1=2$: có $5$ cách chọn vị trí cho chữ số $3$, và $A_7^4=840$ cách chọn $4$ chữ số còn lại từ $\{0,1,5,6,7,8,9\}$, suy ra có $5\cdot 840=4200$ số.
+ Nếu $a_1\ne 2$: có $C_5^2=10$ cách chọn vị trí cho $2,3$ (thứ tự $2$ trước $3$ duy nhất), $6$ cách chọn $a_1\in \{1,5,6,7,8,9\}$ và $A_6^3=120$ cách xếp $3$ vị trí còn lại, suy ra có $10\cdot 6\cdot 120=7200$ số.
Tổng Trường hợp 1 có $4200+7200=11400$ số.
- Trường hợp 2: $a_7\in \{0,6,8\}$. Khi đó cả $2,3,4$ nằm trong $6$ vị trí đầu:
+ Nếu $a_7=0$: có $C_6^3=20$ cách chọn vị trí cho $2,3,4$ và $A_6^3=120$ cách xếp $3$ chữ số còn lại, suy ra có $20\cdot 120=2400$ số.
+ Nếu $a_7\in \{6,8\}$ ($2$ cách): nếu $a_1=2$ thì có $C_5^2\cdot A_6^3=10\cdot 120=1200$ cách cho mỗi giá trị $a_7$ ($2\cdot 1200=2400$ số); nếu $a_1\ne 2$ thì có $C_5^3=10$ cách chọn vị trí cho $2,3,4$, $5$ cách chọn $a_1\ne 0$ và $A_5^2=20$ cách xếp $2$ vị trí còn lại ($2\cdot 10\cdot 5\cdot 20=2000$ số).
Tổng Trường hợp 2 có $2400+2400+2000=6800$ số.
Suy ra $n(A)=11400+6800=18200$, xác suất là $P(A)=\frac{18200}{544320}=\frac{65}{1944}$.
Vậy $a=65,b=1944\Rightarrow a+b=2009$.