Hai chất điểm $A$ và $B$ chuyển động thẳng đều cùng hướng về $O$ với vận tốc $V_B=\frac{V_A}{\sqrt{3}}$ và góc $\widehat{AOB}=30^{\circ }$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng khi khoảng cách giữa hai chất điểm $A$ và $B$ là nhỏ nhất thì số đo góc $\widehat{BAO}=\phi$. Tìm $\phi$ (đơn vị độ).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B$ trên tia $Ox$ tại $(b,0)$, vận tốc ${\vec{v}}_B=(-V_B,0)$; $A$ tại $(a\cos 30^{\circ },a\sin 30^{\circ })$, vận tốc ${\vec{v}}_A=(-V_A\cos 30^{\circ },-V_A\sin 30^{\circ })$ với $V_B=V_A/\sqrt{3}$. Khoảng cách $AB$ nhỏ nhất khi vận tốc tương đối vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(a\cos 30^{\circ }-b,a\sin 30^{\circ })$.

${\vec{v}}_A-{\vec{v}}_B=(-V_A\cos 30^{\circ }+V_B,-V_A\sin 30^{\circ })$.

Tích vô hướng bằng 0:
$$(-V_A\cos 30^{\circ }+V_B)(a\cos 30^{\circ }-b)-V_A\sin 30^{\circ }\cdot a\sin 30^{\circ }=0$$
$$\Rightarrow -V_{A}a+V_A\frac{\sqrt{3}}{2}b+\frac{V_A}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{V_A}{\sqrt{3}}b=0$$
$$\Rightarrow -\frac{a}{2}+b\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0\Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{b}{2\sqrt{3}}\Rightarrow a=\frac{b}{\sqrt{3}}.$$

Vậy $OB=\sqrt{3}OA$, góc $O=30^{\circ }$. Theo định lí cosin trong tam giác $AOB$:
$$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cos 30^{\circ }=a^2+3a^2-2\sqrt{3}{a}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a^2\Rightarrow AB=a.$$

Góc $\widehat{BAO}=\phi$ đối diện cạnh $OB=\sqrt{3}a$:
$$\cos \phi =\frac{O{A}^2+A{B}^2-O{B}^2}{2\cdot OA\cdot AB}=\frac{a^2+a^2-3a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \phi =120^{\circ }.$$

Đáp số: $\phi =120$.