Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 2 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1,5 km về phía bắc và 3 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,6 km. Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là $a$ km theo hướng nam và $b$ km theo hướng tây. Tính tổng $2a+3b$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ là địa điểm xuất phát, trục $Ox$ hướng đông, trục $Oy$ hướng bắc, trục $Oz$ hướng lên (đơn vị km).

Toạ độ hai khinh khí cầu:
- Chiếc thứ nhất: $A(2;-2,5;0,8)$ (2 km đông, 2,5 km nam, cao 0,8 km).
- Chiếc thứ hai: $B(-3;1,5;0,6)$ (3 km tây, 1,5 km bắc, cao 0,6 km).

Gọi $P$ là vị trí trên mặt đất cần tìm. Vì $P$ cách $O$ theo hướng nam $a$ km và hướng tây $b$ km nên $P(-b;-a;0)$.

Ta cần tìm $P$ sao cho $PA+PB$ nhỏ nhất. Lấy $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua mặt đất: $A^{\prime }(2;-2,5;-0,8)$. Với mọi $P$ trên mặt đất, $PA=P{A}^{\prime }$, nên $PA+PB=P{A}^{\prime }+PB\ge A^{\prime }B$, dấu bằng xảy ra khi $P$ nằm trên đoạn $A^{\prime }B$, tức $P$ là giao điểm của đoạn $A^{\prime }B$ với mặt phẳng $z=0$.

Phương trình tham số của đoạn $A^{\prime }B$: điểm $A^{\prime }+t(B-A^{\prime })$ với $t\in [0;1]$, trong đó $B-A^{\prime }=(-5;4;1,4)$.

Toạ độ $z$: $-0,8+1,4t=0\Rightarrow t=\frac{0,8}{1,4}=\frac{4}{7}$.

Khi đó:
- $x=2+\frac{4}{7}(-5)=2-\frac{20}{7}=-\frac{6}{7}$, suy ra $b=\frac{6}{7}$ (hướng tây).
- $y=-2,5+\frac{4}{7}(4)=-\frac{5}{2}+\frac{16}{7}=-\frac{3}{14}$, suy ra $a=\frac{3}{14}$ (hướng nam).

Vậy $2a+3b=2\cdot \frac{3}{14}+3\cdot \frac{6}{7}=\frac{3}{7}+\frac{18}{7}=\frac{21}{7}=3$.