Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x+1}{\left(3-x\right).\sqrt{x-m}}$ , $m$ là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[-50;50\right]$ để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x+1}{(3-x)\sqrt{x-m}}$, tập xác định: $x>m$, $x\ne 3$.

Tiệm cận ngang: khi $x\to +\infty$, $y\to 0$, nên $y=0$ luôn là tiệm cận ngang (tập xác định luôn chặn dưới nhưng không chặn trên).

Tiệm cận đứng:
- $x=3$: là tiệm cận đứng khi $3$ thuộc giới hạn được xét, tức $m<3$ (khi đó $x\to 3^{\pm }$, mẫu $\to 0$, tử $\to 4\ne 0$). Nếu $m\ge 3$ thì $x=3$ không nằm trong miền xác định lân cận... thực chất với $m=3$, khi $x\to 3^{+}$ mẫu $\to 0^{+}$, tử $=4\ne 0$ nên $x=3$ vẫn là tiệm cận đứng (miền xác định $(3;+\infty )$).
- $x=m$: là biên của tập xác định; ${\lim }_{x\to m^{+}}\frac{x+1}{(3-x)\sqrt{x-m}}=\frac{m+1}{(3-m)\cdot 0^{+}}$ vô cực khi $m+1\ne 0$ và $m\ne 3$. Nếu $m=-1$ thì $\frac{x+1}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}\to 0$, không phải tiệm cận.

Đếm số tiệm cận theo $m$:
- $m<3$, $m\ne -1$: có $x=m$, $x=3$, $y=0$ → 3 tiệm cận (loại).
- $m=-1$: có $x=3$, $y=0$ → đúng 2 tiệm cận (nhận).
- $m=3$: có $x=3$, $y=0$ → đúng 2 tiệm cận (nhận).
- $m>3$: có $x=m$, $y=0$ → đúng 2 tiệm cận (nhận).

Vậy $m=-1$ hoặc $m\ge 3$. Với $m\in [-50;50]$ nguyên: $m=-1$ cho 1 giá trị, $m\in \{3,4,\dots ,50\}$ cho 48 giá trị.

Tổng: $1+48=49$ giá trị.