Hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-4x+3}{x-1}& ,\text{khi }x>1\\ ax-3& ,\text{khi }x\le 1\end{array}$. Tìm $a$ để hàm số liên tục tại điểm $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=x-3$ (với $x\ne 1$). Do đó ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x-3)=-2$. Với $x\le 1$: $f(x)=ax-3$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a-3$ và $f(1)=a-3$. Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=f(1)$, tức $-2=a-3\iff a=1$. Vậy $a=1$.