Tính các giới hạn sau:

a) ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2n^2+5n-17}{5n^2-n+19}$

b) ${\lim }_{x\to 2}\frac{\sqrt{3x-2}-2}{-3x^2+2x+8}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a: Chia tử và mẫu cho $n^2$: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+5n-17}{5n^2-n+19}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{5}{n}-\frac{17}{n^2}}{5-\frac{1}{n}+\frac{19}{n^2}}=\frac{2}{5}.$$ Vì $\frac{5}{n},\frac{17}{n^2},\frac{1}{n},\frac{19}{n^2}\to 0$ khi $n\to +\infty$.

Câu 1b: Thay $x=2$: tử $\sqrt{3\cdot 2-2}-2=2-2=0$, mẫu $-3\cdot 4+4+8=0$, nên đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Nhân liên hợp tử số: $$\sqrt{3x-2}-2=\frac{(\sqrt{3x-2}-2)(\sqrt{3x-2}+2)}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3x-6}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}.$$ Phân tích mẫu: $-3x^2+2x+8=-(3x^2-2x-8)=-(3x+4)(x-2)$.

Do đó: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{3x-2}-2}{-3x^2+2x+8}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3(x-2)}{-(\sqrt{3x-2}+2)(3x+4)(x-2)}=\frac{3}{-(2+2)(6+4)}=\frac{3}{-4\cdot 10}=-\frac{3}{40}.$$ (Với $x\to 2$: $\sqrt{3x-2}+2\to 4$ và $3x+4\to 10$.)

Vậy a) $\frac{2}{5}$; b) $-\frac{3}{40}$.