Một bàn cờ vua gồm $8\times 8$ ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,… Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{Z}$. Khi đó $T=3a+b$ bằng bao nhiêu?


Bàn cờ vua $8\times 8$ có 9 đường ngang và 9 đường dọc.
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành bởi 2 đường thẳng ngang và 2 đường thẳng dọc, do đó tổng số hình chữ nhật là:
$n(\Omega )=C_9^2\cdot C_9^2=36\cdot 36=1296$
Số hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị (kích thước $5\times 5,6\times 6,7\times 7,8\times 8$):
- Kích thước $5\times 5$: $(8-5+1{)}^2=4^2=16$ hình vuông.
- Kích thước $6\times 6$: $(8-6+1{)}^2=3^2=9$ hình vuông.
- Kích thước $7\times 7$: $(8-7+1{)}^2=2^2=4$ hình vuông.
- Kích thước $8\times 8$: $(8-8+1{)}^2=1^2=1$ hình vuông.
Tổng số hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là:
$n(A)=16+9+4+1=30$
Xác suất để chọn được hình vuông có cạnh lớn hơn 4 là:
$P(A)=\frac{30}{1296}=\frac{5}{216}$
Suy ra $a=5$ và $b=216$ (phân số tối giản).
Khi đó $T=3a+b=3\cdot 5+216=15+216=231$.
Đáp số: 231.