Một chiếc cổng có dạng là một parabol $(P)$ có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng $4m$. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật $CDEF$, phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/$m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh $(0;4)$, cắt trục hoành tại $x=\pm 2$ nên $y=f(x)=-x^2+4$.

a) Đề phát biểu $y=-x^2-4$ (đỉnh $(0;-4)$) là sai; đúng phải là $y=-x^2+4$.

b) Với $CD=3$ thì $E,D$ thuộc parabol tại $y=3$: $3=-x^2+4\Rightarrow x=\pm 1$, nên chiều rộng cửa $CF=2$ m, không phải $2\sqrt{2}$ m.

c) Diện tích dưới parabol: ${\int }_{-2}^2(-x^2+4)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+4x\right]}_{-2}^2=\frac{32}{3}$. Diện tích hình chữ nhật $CDEF=2\cdot 3=6$. Diện tích tô đậm $=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}{m}^2$, chi phí $=\frac{14}{3}$ triệu đồng. Đúng.

d) Với chiều cao cửa $h$ ($0<h<4$), chiều rộng $2\sqrt{4-h}$, diện tích tô đậm $S(h)=\frac{32}{3}-2h\sqrt{4-h}$. $h\sqrt{4-h}$ lớn nhất bằng $\sqrt{\frac{h^2(4-h{)}^2}{4}}\le \frac{h^2+4-h}{2}\cdot ...$ chính xác: $h^2(4-h)$ max tại $h=8/3$ cho $h\sqrt{4-h}$: đặt $g(h)=h\sqrt{4-h}$, $g^{\prime }(h)=0\Rightarrow h=8/3$, $g_{max}=\frac{8}{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{16}{3\sqrt{3}}$. Khi đó $S_{min}=\frac{32}{3}-\frac{32}{3\sqrt{3}}=\frac{32}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 5.080$ triệu đồng $\approx \mathrm{5.080.000}$ đồng $\ne \mathrm{4.608.000}$ đồng. (Nếu tối ưu theo $h\sqrt{4-h}$ bằng AM-GM với $h^2+(4-h)$... kết quả vẫn $\approx 5.08$ triệu.) Vậy khẳng định d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh $(0;4)$ và đi qua $(\pm 2;0)$ nên $y=-x^2+4$, không phải $y=-x^2-4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=3$: $3=-x^2+4\Rightarrow x=\pm 1$, chiều rộng cửa $CF=2$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tô đậm $=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}{m}^2$, chi phí $\frac{14}{3}$ triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S(h)=\frac{32}{3}-2h\sqrt{4-h}$, min tại $h=\frac{8}{3}$, $S_{min}=\frac{32}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 5.080$ triệu đồng, không phải 4.608.000 đồng.