Một công ty ước tính rằng nếu sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm $(0\le x\le 24)$ thì sẽ có doanh thu biên $R^{\prime }(x)=278-2x$ USD và chi phí biên $C^{\prime }(x)=\frac{6}{5}{x}^2-2x+8$ USD. Các hàm doanh thu biên và chi phí biên lần lượt là đạo hàm của hàm doanh thu $R(x)$ và hàm chi phí $C(x)$, dùng để biểu diễn tốc độ thay đổi của doanh thu và chi phí theo số lượng đơn vị sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí, $P(x)=R(x)-C(x)$.

b) $R^{\prime }(x)=278-2x\Rightarrow R(x)=278x-x^2+C$. Với $R(5)=1465$: $1390-25+C=1465\Rightarrow C=100$. Vậy $R(x)=278x-x^2+100$, không phải $+95$ → sai.

c) $C^{\prime }(x)=\frac{6}{5}{x}^2-2x+8\Rightarrow C(x)=\frac{2}{5}{x}^3-x^2+8x+C_0$. Với $C(5)=900$: $50-25+40+C_0=900\Rightarrow C_0=835$. Vậy $C(x)=\frac{2}{5}{x}^3-x^2+8x+835$ → đúng.

d) $P(x)=R(x)-C(x)=278x-x^2+100-\frac{2}{5}{x}^3+x^2-8x-835=-\frac{2}{5}{x}^3+270x-735$. $P^{\prime }(x)=-\frac{6}{5}{x}^2+270=0\Rightarrow x=15$ (thỏa $0\le x\le 24$). $P(15)=-1350+4050-735=1965$ USD. Lợi nhuận lớn nhất là 1965 USD, không phải 1960 USD → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí: $P(x)=R(x)-C(x)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R(x)=278x-x^2+C$; từ $R(5)=1465$ suy ra $C=100$, nên $R(x)=278x-x^2+100$ chứ không phải $+95$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(x)=\frac{2}{5}{x}^3-x^2+8x+C_0$; từ $C(5)=900$ suy ra $C_0=835$, đúng như đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)=-\frac{2}{5}{x}^3+270x-735$; $P^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=15$, $P(15)=1965$ USD. Lợi nhuận lớn nhất là 1965 USD, không phải 1960 USD.