Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất $x$ sản phẩm $(0\le x\le 300)$ được cho bởi hàm số $y=-x^3+300x^2$ (đơn vị: đồng) và được minh họa bằng đồ thị ở hình bên dưới.

[Hình cần kiểm tra lại: p13_f2]

Cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để doanh nghiệp thu được lợi nhuận cao nhất?

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+300x^2$ trên $[0;300]$. Ta có $y^{\prime }=-3x^2+600x=-3x(x-200)$, nên $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=200$. Trên $(0;200)$ có $y^{\prime }>0$, trên $(200;300)$ có $y^{\prime }<0$, do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn tại $x=200$ với $y(200)=-8000000+12000000=4000000$ đồng, phù hợp với đồ thị minh họa (đỉnh tại $x=200$, giá trị $4000000$). Vậy cần sản xuất $200$ sản phẩm để lợi nhuận cao nhất. Lưu ý $4000000$ là giá trị lợi nhuận lớn nhất, không phải số sản phẩm.