Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí $A$ đến một hòn đảo ở vị trí $D$. Khoảng cách ngắn nhất từ $D$ vào đất liền là $DC=2km$. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là $5km$. Người ta chọn một vị trí (điểm $B$) nằm giữa $A$ và $C$ để mắc đường dây điện từ $A$ đến $B$, rồi từ $B$ đến $D$. Chi phí mắc mỗi $km$ dây điện trên đất liền là $3000USD$, chi phí mắc mỗi $km$ dây điện ngầm dưới biển là $5000USD$. Tổng chi phí mắc dây điện nối từ vị trí $A$ đến vị trí $D$ theo cách trên là $23000USD$. Giả sử $AB=x(km)$ với $0<x<5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ với $AC=5$, $AB=x$ nên $BC=5-x$ (a đúng). Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ có $BC=5-x$, $CD=2$ nên $BD=\sqrt{(5-x{)}^2+4}=\sqrt{x^2-10x+29}$, chi phí dưới biển là $5000\sqrt{x^2-10x+29}$ (b đúng). Chi phí trên đất liền là $3000x$, nên tổng chi phí $3000x+5000\sqrt{x^2-10x+29}=23000$ (c đúng). Giải: $3x+5\sqrt{(x-5{)}^2+4}=23$. Thử $x=3,5$: $\sqrt{(-1,5{)}^2+4}=\sqrt{6,25}=2,5$, khi đó $3(3,5)+5(2,5)=10,5+12,5=23$ thỏa mãn. Giải chính xác: đặt $t=5-x>0$, phương trình $3(5-t)+5\sqrt{t^2+4}=23\Rightarrow 5\sqrt{t^2+4}=8+3t\Rightarrow 25t^2+100=64+48t+9t^2\Rightarrow 16t^2-48t+36=0\Rightarrow 4t^2-12t+9=0\Rightarrow (2t-3{)}^2=0\Rightarrow t=1,5$, vậy $x=3,5$ (d đúng). Khớp với đáp án nguồn (Câu 7, Mã 1101: a Đ, b Đ, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, $AC=5$, $AB=x$ nên $BC=AC-AB=5-x$ (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $BCD$ vuông tại $C$: $BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{(5-x{)}^2+2^2}=\sqrt{x^2-10x+29}$. Chi phí ngầm dưới biển $=5000\cdot BD=5000\sqrt{x^2-10x+29}$ (USD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí trên đất liền $3000x$, dưới biển $5000\sqrt{x^2-10x+29}$, tổng bằng 23000 nên $3000x+5000\sqrt{x^2-10x+29}=23000$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $3x+5\sqrt{(x-5{)}^2+4}=23$: đặt $t=5-x$, được $5\sqrt{t^2+4}=8+3t\Rightarrow 4t^2-12t+9=0\Rightarrow t=1,5$, nên $x=3,5$ km (thỏa $0<x<5$).