Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x(\mathrm{cm})$, chiều cao là $h(\mathrm{cm})$ và thể tích là $4000{\mathrm{cm}}^3$. Tìm $x(\mathrm{cm})$ sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $x^{2}h=4000\Rightarrow h=\frac{4000}{x^2}$ với $x>0$. Hộp không nắp nên diện tích bìa các tông gồm đáy và 4 mặt bên: $S=x^2+4xh=x^2+\frac{16000}{x}$. Xét hàm $S(x)$ trên $(0;+\infty )$: $S^{\prime }(x)=2x-\frac{16000}{x^2}$. Cho $S^{\prime }(x)=0\Rightarrow x^3=8000\Rightarrow x=20$. Với $0<x<20$ thì $S^{\prime }(x)<0$, với $x>20$ thì $S^{\prime }(x)>0$, nên $S$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=20$. Vậy $x=20$ cm, khớp đáp án nguồn (đề 1020, Phần III câu 4: 20).