Một thanh dầm hình hộp chữ nhật được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy bằng 20 cm sao cho thanh dầm có diện tích mặt cắt ngang lớn nhất, tức là thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông. Sau khi cắt thanh dầm đó, người ta lại cắt bốn tấm ván hình hộp chữ nhật từ bốn phần còn lại của khúc gỗ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Xác định diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván (theo đơn vị cm${}^2$ và làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

[Hình cần kiểm tra lại: p12_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt ngang của khúc gỗ là hình tròn bán kính $R=20$ cm. Thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông nội tiếp đường tròn nên cạnh $a=R\sqrt{2}=20\sqrt{2}$ cm, nửa cạnh $\frac{a}{2}=10\sqrt{2}\approx 14,1421$ cm.

Xét một tấm ván ở một trong bốn phần còn lại (ví dụ phía trên hình vuông): tấm ván là hình chữ nhật có chiều rộng $x$ (song song với cạnh hình vuông) và chiều cao $h$, hai đỉnh phía ngoài nằm trên đường tròn. Chọn hệ trục tọa độ gốc tại tâm hình vuông, cạnh trên của tấm ván có tung độ $u=\frac{a}{2}+h=10\sqrt{2}+h$, nên hai đỉnh trên thỏa mãn ${\left(\frac{x}{2}\right)}^2+u^2=400$, tức $x=2\sqrt{400-u^2}$ với $10\sqrt{2}\le u<20$.

Diện tích mặt cắt: $S=xh=2\left(u-10\sqrt{2}\right)\sqrt{400-u^2}$.

Đạo hàm: $S^{\prime }(u)=2\sqrt{400-u^2}-\frac{2u\left(u-10\sqrt{2}\right)}{\sqrt{400-u^2}}=0\Rightarrow 400-u^2-u\left(u-10\sqrt{2}\right)=0\Rightarrow 2u^2-10\sqrt{2}u-400=0$.

Giải: $u=\frac{10\sqrt{2}+\sqrt{200+3200}}{4}=\frac{5\sqrt{2}+5\sqrt{34}}{2}\approx 18,1129$ cm (nghiệm dương, thỏa điều kiện).

Suy ra $h\approx 18,1129-14,1421=3,9708$ cm và $x=2\sqrt{400-18,1129^2}\approx 16,9616$ cm.

Vậy $S_{\max }=x\cdot h\approx 16,9616\times 3,9708\approx 67,35$ cm${}^2$, làm tròn đến hàng phần chục là $67,3$ cm${}^2$ (theo quy tắc làm tròn của đề, kết quả khớp với đáp án $67,3$).