Một ngôi nhà góc có kích thước như hình bên.



Đầu tay cần cẩu có tọa độ $K(11;12;26)$. Từ đó kéo một sợi dây tới mái $E_2$ và xoay qua tiếp tục kéo một sợi dây khác với mái $E_1$. Tính tổng chiều dài tối thiểu các sợi dây đó (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải: $O(0;0;0),A(0;8;4),B(0;4;10),C(-8;8;4),E(-8;16;4),F(-11;16;10)$
$\overrightarrow{AB}=(0,-4,6),\overrightarrow{AC}=(-8,0,0)\Rightarrow {\vec{n}}_{E_1}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(0,3,2)\Rightarrow E_1:3y+2z-32=0.$
$\overrightarrow{CE}=(0,8,0),\overrightarrow{CF}=(-3,8,6)\Rightarrow {\vec{n}}_{E_2}=(2,0,1)\Rightarrow E_2:2x+z+12=0.$
- Trên $E_1$ đường nóc $g_{BD}$ đi qua $B$ và vectơ chỉ phương là $(1;0;0)$
→ đường nóc: $g_{BD}:\{\begin{array}{l}x=t,\\ y=4,\\ z=10\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$.
- Trên $E_2$ đường nóc $g_{BD}$ đi qua $F$ và vectơ chỉ phương là $(0;1;0)$
→ đường nóc: $g_{FD}:\{\begin{array}{l}x=-11,\\ y=s,\\ z=10\end{array}$ $(s\in \mathbb{R})$.
Giao điểm hai đường nóc tại $D$
Giải hai hệ trên: $x=-11,y=4,z=10\Rightarrow D(-11;4;10)$.
Ta tìm được hình chiếu của $K$ lên $E_1$ là $K_1=\left(11,-\frac{12}{13},\frac{226}{13}\right)$ có $y<4\Rightarrow$ ngoài tứ giác $\Rightarrow$ độ dài ngắn nhất xảy ra trên biên.
- Khoảng cách từ $K$ đến các cạnh đạt min tại đỉnh $B(0;4,10)$:
$KB=\sqrt{(11-0{)}^2+(12-4{)}^2+(26-10{)}^2}=\sqrt{441}=21m.$
- Ta tìm được hình chiếu của $K$ lên $E_2$ là $K_2=(-13,12,14)$ có $x=-13<-11\Rightarrow$ nằm ngoài tứ giác $\Rightarrow$ độ dài ngắn nhất xảy ra trên biên.
- Xét cạnh $DF:\{\begin{array}{l}x=-11\\ y=4+12t,0\le t\le 1.\\ z=10\end{array}$
Ta có: Khoảng cách từ $K$ đến $DF=\sqrt{22^2+(12-4-12t{)}^2+16^2}$ nhỏ nhất khi $t=\frac{2}{3}\Rightarrow R=(-11,12,10)$, suy ra $KR=\sqrt{22^2+0^2+16^2}=2\sqrt{185}\approx 27,2m.$
Tổng độ dài tối thiểu hai sợi dây $L_{\min }\approx 48,2m.$