Một nhà khảo cổ phát hiện một chiếc hộp cổ được niêm phong bằng một mật mã gồm 7 chữ số đôi một khác nhau, được chọn ngẫu nhiên từ tập hợp các chữ số $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$. Mật mã này không bắt đầu bằng số 0.
a) Tổng số mật mã hợp lệ có thể tạo ra từ tập $S$ là không gian mẫu của bạn. Tính số phần tử của tập $S$.
b) Để mở chiếc hộp, mật mã phải thoả mãn đồng thời hai điều kiện bí ẩn sau:
Tính đối xứng: Ba chữ số đầu tiên phải là ba chữ số lẻ và ba chữ số cuối cùng phải là ba chữ số chẵn.
Tính trung tâm: Chữ số nằm ở vị trí chính giữa phải là một chữ số nhỏ hơn 4.
Hãy tính xác suất để một mật mã được chọn ngẫu nhiên từ tập S thoả mãn hai điều kiện trên (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
**a) Không gian mẫu.** Tập $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ có $n(S)=8$ phần tử. Mật mã là hoán vị 7 chữ số đôi một khác nhau từ 8 chữ số, không bắt đầu bằng 0: chữ số đầu có 7 cách (chọn từ 1 đến 7), 6 vị trí còn lại chọn và xếp từ 7 chữ số còn lại: $A_7^6=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=5040$ cách. Vậy $n(\Omega )=7\times 5040=35280$ mật mã.

**b) Xác suất.** Gọi $A$ là biến cố "mật mã thỏa mãn hai điều kiện".

Mật mã thỏa mãn có dạng: 3 chữ số lẻ (vị trí 1,2,3) — 1 chữ số nhỏ hơn 4 (vị trí 4) — 3 chữ số chẵn (vị trí 5,6,7), tất cả đôi một khác nhau.

- Ba chữ số lẻ được chọn từ $\{1,3,5,7\}$: có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ bộ.
- Ba chữ số chẵn được chọn từ $\{0,2,4,6\}$: có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ bộ.
- Chữ số ở giữa phải thuộc $\{0,1,2,3\}$ và không trùng với 6 chữ số đã chọn. Chú ý chỉ các chữ số 1, 3 (trong nhóm lẻ) và 0, 2 (trong nhóm chẵn) ảnh hưởng đến lựa chọn này.

Đếm theo bộ (chưa xếp thứ tự):
- Bộ lẻ chứa cả 1 và 3 (có 2 bộ: $\{1,3,5\},\{1,3,7\}$) hoặc chứa đúng một trong hai số 1, 3 (có 2 bộ: $\{1,5,7\},\{3,5,7\}$).
- Bộ chẵn chứa cả 0 và 2 (có 2 bộ: $\{0,2,4\},\{0,2,6\}$) hoặc chứa đúng một trong hai số 0, 2 (có 2 bộ: $\{0,4,6\},\{2,4,6\}$).

Số chữ số nhỏ hơn 4 còn khả dụng cho vị trí giữa của một cặp bộ là $2-u_o-u_e$, với $u_o$ là số chữ số trong $\{1,3\}$ đã dùng bởi bộ lẻ, $u_e$ là số chữ số trong $\{0,2\}$ đã dùng bởi bộ chẵn. Tổng trên tất cả $4\times 4=16$ cặp bộ:
$$\sum (2-u_o-u_e)=16\cdot 2-\sum u_o-\sum u_e=32-(2\cdot 2+2\cdot 1)-(2\cdot 2+2\cdot 1)=32-6-6=20.$$

Vậy có 20 cách chọn (bộ lẻ, chữ số giữa, bộ chẵn). Với mỗi cách chọn, 3 chữ số lẻ xếp vào 3 vị trí đầu có $3!=6$ cách và 3 chữ số chẵn xếp vào 3 vị trí cuối có $3!=6$ cách.
$$n(A)=20\times 3!\times 3!=20\times 36=720.$$

Xác suất:
$$P(A)=\frac{720}{35280}=\frac{1}{49}\approx 0.0204=2.04\%.$$

**Kết luận:** a) $n(S)=8$, không gian mẫu có $35280$ mật mã; b) $P(A)=\frac{1}{49}\approx 2.04\%$.