Nghiệm của phương trình ${\cos }^{4}x+{\sin }^{4}x+\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)-\frac{3}{2}=0$ là:

Ta biến đổi từng biểu thức trong phương trình:
1) ${\cos }^{4}x+{\sin }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$.
2) Biến đổi tích thành tổng:
$\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\left[\sin \left(4x-\frac{\pi }{2}\right)+\sin 2x\right]=\frac{1}{2}(-\cos 4x+\sin 2x)$
Sử dụng công thức nhân đôi $\cos 4x=1-2{\sin }^{2}2x$:
$=\frac{1}{2}\left(2{\sin }^{2}2x-1+\sin 2x\right)={\sin }^{2}2x+\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}$

Thay vào phương trình ban đầu:
$\left(1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x\right)+\left({\sin }^{2}2x+\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}=0$
$\iff \frac{1}{2}{\sin }^{2}2x+\frac{1}{2}\sin 2x-1=0\iff {\sin }^{2}2x+\sin 2x-2=0$
$\iff (\sin 2x-1)(\sin 2x+2)=0$

Vì $\sin 2x\in [-1;1]$ nên:
$\sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$