Ông An dự định sử dụng hết $5m^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu $m^3$? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài $2x$ (m), chiều cao $h$ (m) với $x>0$. Diện tích kính: đáy $2x^2$ cộng 4 mặt bên $2(2xh)+2(xh)=6xh$, nên $2x^2+6xh=5\Rightarrow h=\frac{5-2x^2}{6x}$, do đó $0<x<\sqrt{5/2}$. Dung tích $V=2x^{2}h=\frac{x^2(5-2x^2)}{3}=\frac{5x^2-2x^4}{3}$. Đạo hàm $V^{\prime }(x)=\frac{10x-8x^3}{3}=\frac{2x(5-4x^2)}{3}$, $V^{\prime }(x)=0\Rightarrow x^2=\frac{5}{4}$, tức $x=\frac{\sqrt{5}}{2}$ (thỏa miền xác định). Với $0<x<\frac{\sqrt{5}}{2}$ thì $V^{\prime }(x)>0$ và với $\frac{\sqrt{5}}{2}<x<\sqrt{\frac{5}{2}}$ thì $V^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Khi đó $V_{\max }=\frac{5\cdot \frac{5}{4}-2\cdot \frac{25}{16}}{3}=\frac{\frac{25}{4}-\frac{25}{8}}{3}=\frac{25}{24}\approx 1,04m^3$. Vậy dung tích lớn nhất của bể cá khoảng $1,04m^3$.