Số giá trị nguyên của tham số $m\in [-20;10]$ để bất phương trình $9({\log }_3\sqrt[3]{x}{)}^2+{\log }_{3}x+2m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi giá trị $x\in (3;81)$ là

Chọn A.
Ta có ${\log }_3\sqrt[3]{x}=\frac{1}{3}{\log }_{3}x$.
Bất phương trình trở thành:
$$9{\left(\frac{1}{3}{\log }_{3}x\right)}^2+{\log }_{3}x+2m\ge 0⟺({\log }_{3}x{)}^2+{\log }_{3}x+2m\ge 0.$$
Đặt $t={\log }_{3}x$. Với $x\in (3;81)$ thì $t\in (1;4)$.
Bất phương trình trở thành $t^2+t+2m\ge 0,\forall t\in (1;4)⟺2m\ge -t^2-t,\forall t\in (1;4)$.
Xét hàm số $g(t)=-t^2-t$ trên $(1;4)$:
Vì $g^{\prime }(t)=-2t-1<0,\forall t\in (1;4)$ nên $g(t)$ nghịch biến trên $(1;4)$.
Giá trị lớn nhất của $g(t)$ trên $(1;4)$ tiệm cận tại $t=1$, tức $g(1)=-1^2-1=-2$.
Do đó điều kiện nghiệm đúng là $2m\ge -2⟺m\ge -1$.
Kết hợp với $m\in [-20;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{-1;0;1;2;\dots ;10\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là $10-(-1)+1=12$.