[TH] Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=0$ và $f^{\prime }(x){\sin }^2\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}=1$. Tính $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x){\sin }^2\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}=1$ suy ra $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\sin }^2\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}}=\frac{4}{{\sin }^{2}x}$ (do $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$). Khi đó $f\left(\frac{\pi }{2}\right)-f\left(\frac{\pi }{4}\right)={\int }_{\pi /4}^{\pi /2}\frac{4}{{\sin }^{2}x}dx={\left[-4\cot x\right]}_{\pi /4}^{\pi /2}=0-(-4)=4$. Vì $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=0$ nên $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=4$. Kết quả khớp với đáp án D.