Trong không gian $(Oxyz)$ cho hai điểm $A(2;3;7)$; $B(4;1;3)$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I=\left(\frac{2+4}{2};\frac{3+1}{2};\frac{7+3}{2}\right)=(3;2;5)$. VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{AB}=(2;-2;-4)\parallel (-1;1;2)$. Mặt phẳng $(\alpha )$: $-(x-3)+(y-2)+2(z-5)=0\iff -x+y+2z-9=0$. a) Thay $I(1;-1;-2)$: $-1-1-4-9=-15\ne 0$ → sai. b) $\vec{n}=(-1;1;2)$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ → đúng. c) $a+b+c=-1+1+2=2$ → đúng. d) $d(C,(\alpha ))=\frac{|0-1+4-9|}{\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\ne 6$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $I(1;-1;-2)$ vào $-x+y+2z-9=0$: $-1-1-4-9=-15\ne 0$, nên $(\alpha )$ không đi qua $I$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;-2;-4)=-2\cdot (-1;1;2)$, nên $\vec{n}=(-1;1;2)$ là VTPT của $(\alpha )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(\alpha ):-x+y+2z-9=0$ nên $a=-1,b=1,c=2$, $a+b+c=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(C,(\alpha ))=\frac{|0-1+4-9|}{\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\ne 6$.