[VD] Trong không gian $Oxyz$, cho hình thang cân $ABCD$ có đáy là $AB$ và $CD$. Biết $A(3;1;-2)$, $B(-1;3;2)$, $C(-6;3;6)$ và gọi $D(a;b;c)$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$. Giá trị của $a+b+c$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel AB$ nên $\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(-4;2;4)$, suy ra $D=(-6-4t;3+2t;6+4t)$. Hình thang cân nên $AD=BC$: $\overrightarrow{BC}=(-5;0;4)$, $B{C}^2=41$. Ta có $\overrightarrow{AD}=(-9-4t;2+2t;8+4t)$, nên $(9+4t{)}^2+(2+2t{)}^2+(8+4t{)}^2=41\iff 36t^2+144t+108=0\iff t^2+4t+3=0\iff t=-1$ hoặc $t=-3$. Với $t=-1$ thì $CD=|t|\cdot AB=AB=6$ (tứ giác thành hình bình hành, loại). Với $t=-3$: $D=(6;-3;-6)$, khi đó $a+b+c=6-3-6=-3$. Kiểm tra lại: $\overrightarrow{AD}=(3;-5;6)$, $A{D}^2=9+25+36=70\ne 41$? — thực ra $\overrightarrow{AD}=D-A=(6-3;-3-1;-6+2)=(3;-4;-4)$, $A{D}^2=9+16+16=41=B{C}^2$ ✓, và $\overrightarrow{CD}=(12;-6;-12)=(-3)\overrightarrow{AB}$ ✓.