Tìm giới hạn của hàm số sau tại điểm cho trước $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}& khix>1\\ -\frac{x}{2}& khix\le 1\end{array}$, tại $x=1$

(AI giải đề cho tôi)
Xét giới hạn tại $x=1$ của hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}& khix>1\\ -\frac{x}{2}& khix\le 1\end{array}$.

Giới hạn bên phải: với $x>1$, ta có $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ và $x^2-1=(x-1)(x+1)$, nên
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x+1}=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2}.$$

Giới hạn bên trái: với $x\le 1$, $f(x)=-\frac{x}{2}$, nên
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}.$$

Vì giới hạn trái và giới hạn phải đều bằng $-\frac{1}{2}$, suy ra ${\lim }_{x\to 1}f(x)=-\frac{1}{2}$.