Tìm $m$ sao cho: $-x^2+2(m+1)x-m^2+m<0$ với mọi x thuộc R.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=-x^2+2(m+1)x-m^2+m$. Vì hệ số $a=-1<0$, parabol có bề lõm hướng xuống nên $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm, tức ${\Delta }^{\prime }<0$.

Ta có: $b^{\prime }=m+1$, $c=-m^2+m$.
$${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(-1)(-m^2+m)=m^2+2m+1-(m^2-m)=3m+1.$$

Yêu cầu $f(x)<0$ với mọi $x$ tương đương với $x^2-2(m+1)x+m^2-m>0$ với mọi $x$ (nhân hai vế với $-1$), tức ${\Delta }^{\prime }<0$:
$$3m+1<0⟺m<-\frac{1}{3}.$$

Vậy $m<-\frac{1}{3}$.