Tính các giới hạn sau a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n+1-\sqrt{n^2+n}\right)$. b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9n^2-n}-3n+1}{n^2+2}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 32:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n+1-\sqrt{n^2+n}\right)$

Nhân liên hợp:
$$n+1-\sqrt{n^2+n}=\frac{(n+1{)}^2-(n^2+n)}{n+1+\sqrt{n^2+n}}=\frac{n+1}{n+1+\sqrt{n^2+n}}$$

Chia tử và mẫu cho $n$ (với $n>0$, $\sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+\frac{1}{n}}$):
$$\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n+1-\sqrt{n^2+n}\right)=\frac{1}{2}$.

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9n^2-n}-3n+1}{n^2+2}$

Viết $\sqrt{9n^2-n}-3n+1=\sqrt{9n^2-n}-(3n-1)$ và nhân liên hợp:
$$\sqrt{9n^2-n}-(3n-1)=\frac{(9n^2-n)-(3n-1{)}^2}{\sqrt{9n^2-n}+3n-1}=\frac{9n^2-n-(9n^2-6n+1)}{\sqrt{9n^2-n}+3n-1}=\frac{5n-1}{\sqrt{9n^2-n}+3n-1}$$

Chia tử và mẫu cho $n$:
$$\frac{5-\frac{1}{n}}{\sqrt{9-\frac{1}{n}}+3-\frac{1}{n}}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{5}{3+3}=\frac{5}{6}$$

Vậy tử số $\sqrt{9n^2-n}-3n+1\to \frac{5}{6}$ (hữu hạn), trong khi mẫu $n^2+2\to +\infty$.

Do đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9n^2-n}-3n+1}{n^2+2}=0$.

Kiểm tra lại: phép nhân liên hợp ở câu b) đã chính xác vì $(3n-1{)}^2=9n^2-6n+1$, hiệu $(9n^2-n)-(9n^2-6n+1)=5n-1$, không có sai số; kết quả cuối $0$ đúng.