Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}{\log }_2\left(x+3\right)={\log }_2\left(x+1\right)+x^2-x-4+2\sqrt{x+3}$.

Trả lời: 1. Điều kiện: $x>-1$. Ta có $$\frac{1}{2}{\log }_2(x+3)={\log }_2(x+1)+x^2-x-4+2\sqrt{x+3}$$ $$\iff {\log }_2\sqrt{x+3}+{\left(\sqrt{x+3}-1\right)}^2={\log }_2(x+1)+x^2(\ast )$$ Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+(t-1{)}^2$ trên khoảng $(0;+\infty )$. $$f^{\prime }(t)=\frac{1}{t\ln 2}+2(t-1)=\frac{1+2\ln 2\left(t^2-t\right)}{t\ln 2}=\frac{2\ln 2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\left(1-\ln \sqrt{2}\right)}{t\ln 2}>0\forall t>0.$$ Vậy hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$. Suy ra $(\ast )\iff f\left(\sqrt{x+3}\right)=f(x+1)\iff \sqrt{x+3}=x+1$ $$\iff \{\begin{array}{l}x>-1\\ x^2+x-2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-1\\ \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-2\end{array}\right]\end{array}\iff x=1.$$ Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 1.