Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có diện tích đáy bằng $S_0$, thể tích $V_0$.

a) Sai: $h=\frac{3V_0}{S_0}=a\sqrt{5}$, không phải $\frac{a\sqrt{5}}{3}$. b) Sai: $V_{M.ABC}=\frac{1}{4}{V}_0=\frac{a^3}{12}$. c) Đúng: $d(BD,SA)=OH=\frac{OA.SO}{\sqrt{O{A}^2+S{O}^2}}=\frac{a\sqrt{55}}{11}$. d) Sai: $V_0$ lớn nhất bằng $\frac{40\sqrt{10}}{3}$ khi $x=20\sqrt{2}$, khi đó $S_0=3200$ (không phải 3216).
a) Chiều cao của khối chóp là $h=\frac{3V_0}{S_0}=a\sqrt{5}$. Chọn SAI.
b) Ta có $V_{M.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.d(M,(ABC))=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{S}_{ABCD}.\frac{1}{2}d(S,(ABC))=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{S}_{ABCD}.\frac{1}{2}SO=\frac{1}{4}{V}_0=\frac{a^3}{12}$. Chọn SAI.
c) Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều $\Rightarrow SO\perp (ABCD)\Rightarrow SO\perp BD$, $AC\perp BD\Rightarrow BD\perp (SAO)$. Dựng $OH\perp SA,H\in SA\Rightarrow BD\perp OH$. Suy ra $d(BD,SA)=OH=\frac{OA.SO}{\sqrt{O{A}^2+S{O}^2}}$. Vì $S_0=a^2,V_0=\frac{a^3\sqrt{5}}{3}\Rightarrow AB=a,OA=\frac{a\sqrt{2}}{2},SO=\frac{3V_0}{S_0}=a\sqrt{5}$. $d(BD,SA)=OH=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{5}}{\sqrt{\frac{a^2}{2}+5a^2}}=\frac{a\sqrt{55}}{11}$. Chọn ĐÚNG.
d) Ta có $a=180,h=98$. Gọi cạnh đáy của mô hình kim tự tháp bằng $x=AB=BC=CD=AD$. Gọi $O$ là tâm hình vuông $MNPQ$ cạnh 50 cm $\Rightarrow O$ cũng là tâm hình vuông $ABCD$. Xét tam giác $OAD$ vuông cân tại $O$ nên $OD=OA=\frac{x}{\sqrt{2}}\iff AK=OK-OA=25-\frac{x}{\sqrt{2}}$. Xét tam giác vuông $MKA$ có: $MA=\sqrt{M{K}^2+K{A}^2}=\sqrt{625+{\left(25-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2}$. Giả sử sau khi gấp lên (với $S\equiv M\equiv N\equiv P\equiv Q$), ta được hình chóp $S.ABCD$, có: $$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{M{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{625+{\left(25-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2-\frac{x^2}{2}}$$ $$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO=\frac{1}{3}.x^2.\sqrt{625+{\left(25-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2-\frac{x^2}{2}}=\frac{1}{3}{x}^2\sqrt{1250-25\sqrt{2}x}$$ $$=\frac{5}{3}\sqrt{x^4\left(50-\sqrt{2}x\right)}=\frac{40}{3}\sqrt{\frac{x\sqrt{2}}{4}.\frac{x\sqrt{2}}{4}.\frac{x\sqrt{2}}{4}.\frac{x\sqrt{2}}{4}.\left(50-\sqrt{2}x\right)}\le \frac{40}{3}\sqrt{\frac{50}{5}}=\frac{40\sqrt{10}}{3}.$$ Dấu "=" xảy ra khi $x=20\sqrt{2}$. Vậy $V_0$ đạt giá trị lớn nhất là $\frac{40\sqrt{10}}{3}$ khi đó $S_0=3200$. Chọn SAI.