Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\cos 2x-{\tan }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x-{\cos }^{3}x-1}{{\cos }^{2}x}$ trên đoạn $[1;70]$.

Điều kiện xác định: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.

Ta có:
$\cos 2x-{\tan }^{2}x=\cos 2x-\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\cos 2x-\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{\cos 2x{\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$

Phương trình đã cho tương đương với:
$\frac{\cos 2x{\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x-{\cos }^{3}x-1}{{\cos }^{2}x}$
$\iff \cos 2x{\cos }^{2}x=-{\cos }^{3}x$

Vì $\cos x\ne 0$, chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}x$:
$\cos 2x=-\cos x\iff 2{\cos }^{2}x-1+\cos x=0\iff (2\cos x-1)(\cos x+1)=0$

1) $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi =(2k+1)\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
2) $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Xét các nghiệm trên đoạn $[1;70]$ (chú ý $\frac{70}{\pi }\approx 22.28$):
- Họ nghiệm 1: $x=(2k+1)\pi$.
$1\le (2k+1)\pi \le 70\iff \frac{1}{\pi }\le 2k+1\le \frac{70}{\pi }\approx 22.28\Rightarrow 2k+1\in \{1,3,5,\dots ,21\}$ ($11$ nghiệm).
Tổng họ 1: $S_1=\pi (1+3+\cdots +21)=11^2\pi =121\pi$.
- Họ nghiệm 2: $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi =(6k+1)\frac{\pi }{3}$.
$1\le (6k+1)\frac{\pi }{3}\le 70\iff 0.95\le 6k+1\le 66.84\Rightarrow 6k+1\in \{1,7,13,\dots ,61\}$ ($k=0,1,\dots ,10$, gồm $11$ nghiệm).
Tổng họ 2: $S_2=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{11(1+61)}{2}=\frac{\pi }{3}\cdot 341=\frac{341\pi }{3}$.
- Họ nghiệm 3: $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi =(6k-1)\frac{\pi }{3}$.
$1\le (6k-1)\frac{\pi }{3}\le 70\iff 0.95\le 6k-1\le 66.84\Rightarrow 6k-1\in \{5,11,\dots ,65\}$ ($k=1,2,\dots ,11$, gồm $11$ nghiệm).
Tổng họ 3: $S_3=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{11(5+65)}{2}=\frac{\pi }{3}\cdot 385=\frac{385\pi }{3}$.

Tổng tất cả các nghiệm là:
$S=S_1+S_2+S_3=121\pi +\frac{341\pi +385\pi }{3}=121\pi +\frac{726\pi }{3}=121\pi +242\pi =363\pi$