Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\sin 3x+\cos x=0$ trên đoạn $[0;5\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 3x+\cos x=0\iff \sin 3x=-\cos x=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$.

Trường hợp 1: $3x=x-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$. Với $x\in [0;5\pi ]$ thì $k=1,2,3,4,5$, cho $x\in \left\{\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4};\frac{19\pi }{4}\right\}$. Tổng của nhóm này: $\frac{(3+7+11+15+19)\pi }{4}=\frac{55\pi }{4}$.

Trường hợp 2: $3x=\pi -\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+k2\pi =\frac{3\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+\frac{2k\pi }{3}$. Với $x\in [0;5\pi ]$ thì $0\le \frac{\pi }{2}+\frac{2k\pi }{3}\le 5\pi \iff -\frac{3}{4}\le k\le \frac{27}{4}$, tức $k=0,1,\dots ,6$, cho 7 nghiệm là cấp số cộng công sai $\frac{2\pi }{3}$ với số hạng đầu $\frac{\pi }{2}$. Tổng của nhóm này: $7\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}\cdot \frac{0+6}{2}\cdot 7=\frac{7\pi }{2}+14\pi =\frac{35\pi }{2}=\frac{70\pi }{4}$.

Tổng tất cả các nghiệm: $\frac{55\pi }{4}+\frac{70\pi }{4}=\frac{125\pi }{4}$.