Trên đường tròn tâm bán kính bằng 1 có một điểm chuyển động (như hình bên). Khi gieo một con xúc xắc, nếu số chấm xuất hiện là 1 hoặc 2 thì điểm chuyển động theo chiều kim đồng hồ một góc , còn trong các trường hợp khác thì điểm chuyển động theo chiều ngược kim đồng hồ một góc . Khi gieo xúc xắc 8 lần, xác suất để điểm trở về đúng vị trí ban đầu là . Khi đó, giá trị của là bao nhiêu? (biết rằng là số tự nhiên).
Trên đường tròn tâm bán kính bằng 1 có một điểm chuyển động (như hình bên). Khi gieo một con xúc xắc, nếu số chấm xuất hiện là 1 hoặc 2 thì điểm chuyển động theo chiều kim đồng hồ một góc , còn trong các trường hợp khác thì điểm chuyển động theo chiều ngược kim đồng hồ một góc . Khi gieo xúc xắc 8 lần, xác suất để điểm trở về đúng vị trí ban đầu là . Khi đó, giá trị của là bao nhiêu? (biết rằng là số tự nhiên).
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Mỗi lần gieo: xác suất quay theo chiều kim đồng hồ (gọi là bước −1) là 1/3, ngược chiều kim đồng hồ (bước +1) là 2/3. Sau 8 lần, nếu có c lần ngược chiều và 8−c lần theo chiều thì tổng dịch chuyển (tính theo số bước 60°) là d = c − (8−c) = 2c − 8. Điểm P trở về vị trí ban đầu khi d chia hết cho 6 (vì mỗi bước là 60°, vòng tròn 360°). Giải 2c − 8 ≡ 0 (mod 6) ⇒ c ≡ 1 (mod 3) ⇒ c ∈ {1, 4, 7}. Xác suất: P = C(8,1)(1/3)(2/3)^7 + C(8,4)(1/3)^4(2/3)^4 + C(8,7)(1/3)^7(2/3) = (8·2^7 + 70·2^4 + 8·2)/3^8 = (1024 + 1120 + 16)/3^8 = 2160/3^8 = 80/3^5. Vậy k = 80.
Mỗi lần gieo: xác suất quay theo chiều kim đồng hồ (gọi là bước −1) là 1/3, ngược chiều kim đồng hồ (bước +1) là 2/3. Sau 8 lần, nếu có c lần ngược chiều và 8−c lần theo chiều thì tổng dịch chuyển (tính theo số bước 60°) là d = c − (8−c) = 2c − 8. Điểm P trở về vị trí ban đầu khi d chia hết cho 6 (vì mỗi bước là 60°, vòng tròn 360°). Giải 2c − 8 ≡ 0 (mod 6) ⇒ c ≡ 1 (mod 3) ⇒ c ∈ {1, 4, 7}. Xác suất: P = C(8,1)(1/3)(2/3)^7 + C(8,4)(1/3)^4(2/3)^4 + C(8,7)(1/3)^7(2/3) = (8·2^7 + 70·2^4 + 8·2)/3^8 = (1024 + 1120 + 16)/3^8 = 2160/3^8 = 80/3^5. Vậy k = 80.