Trên một khu đất hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh 200 m đang diễn ra một cuộc thi. Mỗi đội thi sẽ điều khiển con robot mà ban tổ chức cung cấp, xuất phát từ chính giữa cạnh $AB$, đi theo một đường thẳng và đến đích là một điểm bất kỳ trên cạnh $CD$. Ở chính giữa khu đất là một bãi cát hình chữ nhật có chiều dài 120 m và chiều rộng 80 m. Vận tốc của robot khi đi trên mặt đất là 3 m/s còn khi đi trên cát là 2 m/s. Gọi $a$ là thời gian (tính theo giây) ngắn nhất mà robot đi đến đích. Khi đó giá trị $100a$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: xuất phát là $M(0;0)$ (chính giữa cạnh $AB$), cạnh $CD$ là đường thẳng $y=200$. Bãi cát hình chữ nhật nằm chính giữa khu đất, rộng 80 m (ngang) và dài 120 m (dọc) nên chiếm miền $-40\le x\le 40$, $40\le y\le 160$ (phù hợp hình vẽ).

Robot đi theo đường thẳng từ $M$ đến điểm $P(x;200)$ trên $CD$ với $0\le x\le 200$. Đặt $L=\sqrt{x^2+200^2}$.

Trường hợp 1: $0\le x\le 50$. Đường thẳng xuyên qua bãi cát từ $y=40$ đến $y=160$, tỉ lệ chiều dài trên cát là $\frac{120}{200}=0,6$, trên đất là $0,4$. Khi đó
$$T=\frac{0,4L}{3}+\frac{0,6L}{2}=\frac{4,3}{3}L\ge \frac{4,3}{3}\cdot 200\approx 86,67\text{ (s)},$$
nhỏ nhất tại $x=0$.

Trường hợp 2: $50\le x\le 200$. Đường thẳng cắt góc phải bãi cát: vào cát tại $y=40$ và ra qua cạnh $x=40$ tại $y=\frac{8000}{x}$ (vì phương trình đường thẳng là $X=\frac{x}{200}y$). Tỉ lệ trên cát là $\frac{\frac{8000}{x}-40}{200}=\frac{40}{x}-0,2$, tỉ lệ trên đất là $1,2-\frac{40}{x}$. Do đó
$$T=L\left(\frac{1,2-\frac{40}{x}}{3}+\frac{\frac{40}{x}-0,2}{2}\right)=L\left(0,3+\frac{20}{3x}\right).$$

Tìm cực tiểu: $T^{\prime }(x)=0$ cho
$$0,3x^3=\frac{20}{3}\cdot 40000⟺x^3=\frac{8000000}{9}⟺x=\frac{200}{\sqrt[3]{9}}\approx 96,15\in (50;200).$$
Khi đó $L=\sqrt{x^2+40000}\approx 221,91$ và
$$a=T\approx 221,91\left(0,3+\frac{20}{3\cdot 96,15}\right)\approx 81,955\text{ (giaˆy)}.$$

So sánh: $81,955<86,67$ nên thời gian ngắn nhất là $a\approx 81,955$ giây. Suy ra $100a\approx 8195,5\approx 8196$, khớp với đáp án nguồn 8196.