Trong đề kiểm tra 15 phút môn Toán của lớp 11A có 20 câu trắc nghiệm. Mỗi câu trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Nam giải chắc chắn đúng 10 câu, 10 câu còn lại lựa chọn ngẫu nhiên đáp án. Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm, trả lời sai không bị trừ điểm. Khi đó:

a) Sai: xác suất trả lời sai 1 câu khi chọn ngẫu nhiên là $\frac{3}{4}$. b) Sai: Nam giải chắc chắn đúng 10 câu nên xác suất đúng hết 20 câu là $C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^0={\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}$. c) Sai: để đạt đúng 8 điểm cần đúng thêm 6 câu trong 10 câu chọn ngẫu nhiên, xác suất là $C_{10}^6.{\left(\frac{1}{4}\right)}^6.{\left(\frac{3}{4}\right)}^4$. d) Đúng: xác suất đạt từ 9 điểm trở lên là $C_{10}^8.{\left(\frac{1}{4}\right)}^8.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+C_{10}^9.{\left(\frac{1}{4}\right)}^9.{\left(\frac{3}{4}\right)}^1+C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^0\approx 0,0004158>0,0004$.
a) a) Sai. Xác suất để trả lời sai 1 câu khi chọn ngẫu nhiên là $\frac{3}{4}$, không phải $\frac{1}{4}$.
b) b) Sai. Nam giải chắc chắn đúng 10 câu nên Nam cần trả lời đúng thêm 10 câu. Xác suất là $C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^0={\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}$, không phải ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{20}$.
c) c) Sai. Để Nam đạt được đúng 8 điểm thì trong 10 câu còn lại lựa chọn ngẫu nhiên đáp án phải đúng 6 câu nữa (vì đã có 5 điểm chắc chắn), sai 4 câu. Xác suất khi đánh ngẫu nhiên đúng một câu trắc nghiệm là $\frac{1}{4}$; xác suất khi đánh ngẫu nhiên sai một câu trắc nghiệm là $\frac{3}{4}$. Chọn 6 câu trắc nghiệm để đáp đúng từ 10 câu trắc nghiệm có: $C_{10}^6$ (cách). Vậy, xác suất để Nam đạt được đúng 8 điểm là $C_{10}^6.{\left(\frac{1}{4}\right)}^6.{\left(\frac{3}{4}\right)}^4$.
d) d) Đúng. Để đạt 9 điểm, Nam cần trả lời đúng thêm 8 câu. Xác suất là $C_{10}^8.{\left(\frac{1}{4}\right)}^8.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$. Để đạt 9,5 điểm, Nam cần trả lời đúng thêm 9 câu. Xác suất là $C_{10}^9.{\left(\frac{1}{4}\right)}^9.{\left(\frac{3}{4}\right)}^1$. Để đạt 10 điểm, Nam cần trả lời đúng thêm 10 câu. Xác suất là $C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^0$. Như vậy, xác suất để đạt từ 9 điểm trở lên là $C_{10}^8.{\left(\frac{1}{4}\right)}^8.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+C_{10}^9.{\left(\frac{1}{4}\right)}^9.{\left(\frac{3}{4}\right)}^1+C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^0\approx 0,0004158>0,0004$.