Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(3;3;-3)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-9}{10}$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ lớn nhất. Điểm nào dưới đây thuộc $(P)$?

Chọn A.
Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;2;9)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;3;10)$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Khi đó khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ lớn nhất khi $(P)\perp AH$ tại $H$.
Ta tìm $H\in d\Rightarrow H(1+2t;2+3t;9+10t)$.
$\overrightarrow{AH}=(2t-2;3t-1;10t+12)$.
Vì $\overrightarrow{AH}\perp \vec{u}\iff 2(2t-2)+3(3t-1)+10(10t+12)=0\iff 113t+113=0\iff t=-1$.
Suy ra $H(-1;-1;-1)$ và $\overrightarrow{AH}=(-4;-4;2)=-2(2;2;-1)$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $H$ và có VTPT $\vec{n}=(2;2;-1)$:
$2(x+1)+2(y+1)-1(z+1)=0\iff 2x+2y-z+3=0$
Kiểm tra điểm $A_1(1;1;7)$: $2(1)+2(1)-7+3=0$ (thỏa mãn).
Vậy điểm $A_1(1;1;7)$ thuộc mặt phẳng $(P)$.