Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $x+2y-z+6=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-z+6=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;-1)$.

a) Đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(3;0;3)$, qua $A(1;-1;2)$. Vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=3+0-3=0$ nên $d\parallel (\alpha )$. Khoảng cách từ $d$ đến $(\alpha )$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $(\alpha )$: $d(A,(\alpha ))=\frac{|1-2-2+6|}{\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Đường thẳng OH đi qua O và H (hình chiếu của O lên $(\alpha )$), với $H(-1;-2;1)$ nên có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=-2t\\ z=t\end{array}$. Thay vào $d$: $-2t=-1\Rightarrow t=\frac{1}{2}$, khi đó $x=-\frac{1}{2}=1+3t\Rightarrow t=-\frac{1}{2}$, $z=2+3\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$ khớp, vậy $d$ cắt OH tại $\left(-\frac{1}{2};-1;\frac{1}{2}\right)$. Khoảng cách từ $d$ đến $O$: $d(O,d)=\left|\left(-\frac{1}{2};-1;\frac{1}{2}\right)\right|=\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Hai khoảng cách bằng nhau, phát biểu a ĐÚNG.

b) Từ phương trình mặt phẳng, $\vec{n}=(1;2;-1)$ là véc tơ pháp tuyến. ĐÚNG.

c) Hình chiếu H của O lên $(\alpha )$: $H=t\vec{n}=(t;2t;-t)$, thay vào mặt phẳng: $t+4t+t+6=0\Rightarrow t=-1$, suy ra $H(-1;-2;1)$, không phải $H(1;2;-1)$. SAI.

d) Đường thẳng qua O và vuông góc $(\alpha )$ có véc tơ chỉ phương là $\vec{n}=(1;2;-1)$, phương trình $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
d song song (α) (vì u·n=0), d(A,(α))=3/√6=√6/2; d cắt OH tại (−1/2;−1;1/2) nên d(O,d)=√(3/2)=√6/2. Hai khoảng cách bằng nhau nên a đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình x+2y−z+6=0, véc tơ pháp tuyến là n=(1;2;−1).
c) (AI giải đề cho tôi)
H=t·n thỏa mãn mặt phẳng: 6t+6=0 ⇒ t=−1, suy ra H(−1;−2;1) chứ không phải H(1;2;−1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua O vuông góc (α) có chỉ phương n=(1;2;−1): x/1=y/2=z/−1.