Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-14=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$. Gọi tọa độ điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất. Tính giá trị biểu thức $K=a+b+c$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2-(-3)}=\sqrt{1+4+1+3}=3$.
Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$: $d(I,(P))=\frac{|2(1)-(-2)+2(-1)-14|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|-12|}{3}=4>R=3$.
Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $(P)$ có phương trình: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{2}=t$.
Điểm $M\in (S)$ có khoảng cách đến $(P)$ lớn nhất nằm về phía ngược lại của véctơ pháp tuyến hướng tới $(P)$, ứng với $t=-1$ (hoặc tính theo $\vec{n}=(2;-1;2)$):
$M=I-R\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=(1;-2;-1)-3\frac{(2;-1;2)}{3}=(1-2;-2-(-1);-1-2)=(-1;-1;-3)$.
Khi đó $a=-1,b=-1,c=-3\Rightarrow K=a+b+c=-1-1-3=-5$.