Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(1;2;0)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $P(1;0;0)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;1)$. Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm $I(1;2;0)$ đến $d$. Ta có $\overrightarrow{IP}=(0;-2;0)$, nên $\overrightarrow{IP}\times \vec{u}=(-2;0;4)$ với độ dài $\sqrt{4+0+16}=2\sqrt{5}$. Do đó $R=d(I,d)=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{3}$, suy ra $R^2=\frac{10}{3}$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=\frac{10}{3}$, tức $x^2+y^2+z^2-2x-4y+\frac{5}{3}=0$. Kiểm tra: khai triển $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2=x^2+y^2+z^2-2x-4y+5$, và $5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3}$, khớp với kết quả.