Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho 2 điểm $A,B$ thay đổi trên mặt cầu $x^2+y^2+(z-1{)}^2=25$ thỏa mãn $AB=6$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $O{A}^2-O{B}^2$ là

Chọn A.


Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;1)$ và bán kính $R=5$.
Vì $A,B\in (S)$ nên $IA=IB=R=5$.
Ta có:
$O{A}^2=|\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}{|}^2=O{I}^2+I{A}^2+2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{IA}$,
$O{B}^2=|\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}{|}^2=O{I}^2+I{B}^2+2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{IB}$.
Do $IA=IB=5$ nên:
$O{A}^2-O{B}^2=2\overrightarrow{OI}\cdot (\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{BA}$.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$O{A}^2-O{B}^2=2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{BA}\le 2|\overrightarrow{OI}|\cdot |\overrightarrow{BA}|$.
Ta có $|\overrightarrow{OI}|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1$ và $AB=6$.
Suy ra $O{A}^2-O{B}^2\le 2\cdot 1\cdot 6=12$.
Dấu bằng xảy ra khi $\overrightarrow{BA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OI}=(0;0;1)$.
Vậy giá trị lớn nhất của $O{A}^2-O{B}^2$ là $12$.