Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $M(2;3;-1)$, $N(-1;1;1)$ và $P(1;m-1;2)$. Tìm $m$ để tam giác $MNP$ vuông tại $N$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác MNP vuông tại N nên $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=0$. Ta có $\overrightarrow{NM}=(2-(-1);3-1;-1-1)=(3;2;-2)$ và $\overrightarrow{NP}=(1-(-1);m-1-1;2-1)=(2;m-2;1)$. Tích vô hướng: $3\cdot 2+2(m-2)+(-2)\cdot 1=6+2m-4-2=2m=0$, suy ra $m=0$. Kiểm tra: với $m=0$, $P(1;-1;2)$, $\overrightarrow{NP}=(2;-2;1)$, $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=6-4-2=0$ đúng, và $M,N,P$ không thẳng hàng nên tam giác tồn tại.