Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(-2;2;3)$, mặt phẳng $(P):x+2y-3z+6=0$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-3{)}^2=25$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng qua M(-2;2;3) vuông góc (P) có VTCP là VTPT của (P): n=(1;2;-3), nên phương trình đúng là (x+2)/1=(y-2)/2=(z-3)/(-3). Phương trình đề cho đi qua điểm (1;2;-3) khác M nên sai.
b) Bán kính R=d(M,(P))=|-2+4-9+6|/√14=1/√14. Mặt cầu (S'): (x+2)²+(y-2)²+(z-3)²=1/14 ⇔ x²+y²+z²+4x-4y-6z+17-1/14=0 ⇔ x²+y²+z²+4x-4y-6z+237/14=0. Hệ số tự do 237/14 ≠ 3 nên khẳng định sai.
c) Từ (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=25 suy ra tâm I(2;-1;3), bán kính 5. Đúng.
d) MI=(4;-3;0), n_P=(1;2;-3). VTPT của (Q) phải vuông góc cả MI và n_P: n=MI×n_P=(9;12;11). Mặt phẳng qua M: 9(x+2)+12(y-2)+11(z-3)=0 ⇔ 9x+12y+11z-39=0. Phương trình đề cho 9x+12y-11z+27=0 có VTPT (9;12;-11), kiểm tra (9;12;-11)·(1;2;-3)=9+24+33=66≠0 nên không vuông góc với (P) (dù đi qua M và I). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đúng là (x+2)/1=(y-2)/2=(z-3)/(-3); phương trình đề cho đi qua (1;2;-3)≠M(-2;2;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
R=d(M,(P))=1/√14, nên (S'): x²+y²+z²+4x-4y-6z+237/14=0, hệ số tự do khác 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=25 suy ra tâm I(2;-1;3), bán kính 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là 9x+12y+11z-39=0; phương trình đề cho có VTPT (9;12;-11) với (9;12;-11)·(1;2;-3)=66≠0 nên (Q) không vuông góc với (P).