Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+z+1=0$ và 2 điểm $A(1;-1;2)$; $B(2;1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ pháp tuyến của (P): x-2y+z+1=0 là (1;-2;1), và (-1;2;-1) = -(1;-2;1) cũng là một vectơ pháp tuyến → Đúng.
b) Mặt phẳng (Q) song song với (P) có dạng x-2y+z+c=0; qua B(2;1;1): 2-2+1+c=0 ⇒ c=-1, vậy (Q): x-2y+z-1=0 ≠ x-2y+z+3=0 → Sai.
c) d(A,(P)) = |1-2(-1)+2+1|/√(1+4+1) = |1+2+2+1|/√6 = 6/√6 = √6 → Đúng.
d) Mặt phẳng (R) phải chứa A(1;-1;2). Thay A vào 3x+y-z-2=0: 3-1-2-2=-2≠0, nên (R) không đi qua A → Sai. (Thực tế: AB=(1;2;-1), n_R ⊥ AB và n_R ⊥ n_P=(1;-2;1) nên n_R = AB×n_P = (0;-2;-4) ∝ (0;1;2), (R): y+2z-3=0.) Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-S-Đ-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(-1;2;-1) = -(1;-2;1) cùng phương với vectơ pháp tuyến (1;-2;1) của (P), nên là một vectơ pháp tuyến của (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) song song (P) có dạng x-2y+z+c=0; qua B(2;1;1) suy ra c=-1, vậy (Q): x-2y+z-1=0, không phải x-2y+z+3=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(P)) = |1+2+2+1|/√6 = 6/√6 = √6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;-1;2) vào 3x+y-z-2=0 được -2≠0 nên mặt phẳng này không chứa A. Mặt phẳng đúng là y+2z-3=0 (n_R ⊥ AB=(1;2;-1) và ⊥ n_P).